綜合法（順推）

已知$a,b,c\gt 0$ ，且不全相等，求證： \[ a\left( b^{2}+c^{2}\right) +b\left( c^{2}+a^{2}\right) +c\left( a^{2}+b^{2}\right) \gt 6abc \]

證明：我們有 \begin{align*} \left\{ \begin{array} [c]{l} b^{2}+c^{2}\geq2bc\\ c^{2}+a^{2}\geq2ca\\ a^{2}+b^{2}\geq2ab \end{array} \right. & \Rightarrow\left\{ \begin{array} [c]{l} a\left( b^{2}+c^{2}\right) \geq2abc\\ b\left( c^{2}+a^{2}\right) \geq2abc\\ c\left( a^{2}+b^{2}\right) \geq2abc \end{array} \right. \\ & \Rightarrow a\left( b^{2}+c^{2}\right) +b\left( c^{2}+a^{2}\right) +c\left( a^{2}+b^{2}\right) \geq6abc \end{align*} 等號當且僅當$a=b=c$時成立。
而$a,b,c$不全相等，故$a\left( b^{2}+c^{2}\right) +b\left( c^{2}+a^{2}\right) +c\left( a^{2} +b^{2}\right) \gt 6abc$。

分析法：逆推

求證：$a^{2}+b^{2}+5\geq2\left( 2a-b\right) $

證明：要證原不等式，即證 \begin{align*} a^{2}+b^{2}+5 & \geq4a-2b\\ a^{2}+b^{2}+5-4a+2b & \geq0\\ \left( a^{2}-4a+4\right) +\left( b^{2}+2b+1\right) & \geq0\\ \left( a-2\right) ^{2}+\left( b+1\right) ^{2} & \geq0 \end{align*} 最後一步明顯成立，故原不等式成立。 等號當且僅當$a=2$，$b=-1$時取得。