公式有：

對於$x,y\geq 0$，有
(1) $\displaystyle\frac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{xyz}$ 或 $\displaystyle x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$
(2) $\displaystyle xyz\leq \left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3$
等號當且僅當$x=y=z$時成立。

證明題

已知$a,b,c>0$，求證：
(1) $\left( \frac {a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right) \left( \frac{b}{a}+\frac{c}{b} +\frac{a}{c}\right) \geq9$；
(2) $\left( a+b+c\right) \left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \geq9abc$。

證明： (1) 我們有 \[ \left( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right) \left( \frac{b}{a} +\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right) \geq3\sqrt[3]{\frac{a}{b}\frac{b}{c}\frac {c}{a}}\cdot3\sqrt[3]{\frac{b}{a}\frac{c}{b}\frac{a}{c}}=9 \] 等號成立條件是$\frac{a}{b}=\frac {b}{c}=\frac{c}{a}$，即$a=b=c$。原不等式得證。
(2) 我們有 \[ \left( a+b+c\right) \left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \geq3\sqrt[3] {abc}\cdot3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}=9abc \] 等號成立條件是$a=b=c$。原不等式得證。

最大最小值問題

若$x>0$，求當$x$ 為何值時，$y=\frac{12}{x}+3x^{2}$有最小值，最小值為多少？

答案：當$x=\sqrt[3]{2}$ 時，最小值為$18\sqrt{3}$。

解答：由均值不等式，可得 \[ y=\frac{6}{x}+\frac{6}{x}+3x^{2}\geq3\sqrt{\frac{6}{x}\cdot\frac{6}{x} \cdot3x^{2}}=18\sqrt{3} \] 等號成立條件是 \begin{align*} \frac{6}{x} & =3x^{2}\\ x & =\sqrt[3]{2} \end{align*} 故當$x=\sqrt[3]{2}$ 時，函數最小值為$18\sqrt{3}$。

應用題

把一塊邊長是$a$ 的正方形鐡片的各角切去大小相同的正方形，再把它的邊沿着虛線折轉做成一個無盖方底的盒子，問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？

答案：當切去的正方形邊長是$\frac {a}{6}$時，盒子的容積最大。

解答：設切去的小正方形的邊長為$x$ ，則各邊的長度如下圖所示

此時，盒子的容積$V$為 \begin{align*} V & =\left( a-2x\right) ^{2}x=\frac{1}{4}\cdot\left( a-2x\right) \left( a-2x\right) \cdot4x\\ & \leq\frac{1}{4}\left[ \frac{\left( a-2x\right) +\left( a-2x\right) +4x}{3}\right] ^{3}\\ & =\frac{1}{4}\left( \frac{2a}{3}\right) ^{3}=\frac{2}{27}a^{3} \end{align*} 也就是說$V_{\max}=\frac{2}{27}a^{3}$ ，等號成立當且僅當$a-2x=4x$ ，即$x=\frac{a}{6}$。
故當切去的正方形邊長是$\frac {a}{6}$時，盒子的容積最大。