公式有：

對於$x,y\geq 0$，有
(1) $\displaystyle\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}$ 或 $\displaystyle x+y\geq 2\sqrt{xy}$
(2) $\displaystyle xy\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2$
(3) $2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$
等號當且僅當$x=y$時成立。

證明題

已知$a,b>0$，且$ab=4$ ，求證：$\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{4}$。

證明：由均值不等式，可得 \[ a+b\geq2\sqrt{ab}=2\sqrt{4}=4 \] 因此 \[ \frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{4} \] 不等式成立。
等號當且僅當$\left\{ \begin{array} [c]{l} a=b\\ ab=4 \end{array} \right. $，即$a=b=2$時成立。

最大最小值問題

(1) 若$x>0$，則$x$為_________ 時，函數$y=x+\frac{16}{x}$ 有最小值，最小值為_________；
(2) 函數$y=3x+\frac{1}{x}\left( x>0\right) $ 的最小值是_________ ，此時相應的$x$值是_________。

答案：(1) $4,8$ (2) $2\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{3}$

解答：(1) 由均值不等式，可得 \[ y=x+\frac{16}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{16}{x}}=8 \] 等號成立條件是$x=\frac{16} {x}\Rightarrow x=4$。
故當$x=4$時，最小值為$8$。
(2) 由均值不等式，可得 \[ y=3x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{3x\cdot\frac{1}{x}}=2\sqrt{3} \] 等號成立條件是 \begin{align*} 3x & =\frac{1}{x}\\ 3x^{2} & =1\\ x & =\frac{\sqrt{3}}{3} \end{align*} 故最小值為$2\sqrt{3}$ ，相應的$x$值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$。