無法因式分解或配方時，常使用作商法：

已知$a,b$是正數，求證$a^{a} b^{b}\geq a^{b}b^{a}$，當且僅當$a=b$時，等號成立。

證明：作商如下 \[ \frac{a^{a}b^{b}}{a^{b}b^{a}}=\frac{a^{a-b}}{b^{a-b}}=\left( \frac{a} {b}\right) ^{a-b} \] 由對稱性，不妨設$a\geq b$（交換$a,b$ 的位置，不等式不變），則$\frac {a}{b}\geq1$且$a-b\leq0$。
函數$y=\left( \frac{a}{b}\right) ^{x}$在$ \mathbb{R} $上是遞增函數，則 \[ \left( \frac{a}{b}\right) ^{a-b}\geq\left( \frac{a}{b}\right) ^{0}=1 \] 從而 \[ \frac{a^{a}b^{b}}{a^{b}b^{a}}\geq1\Rightarrow a^{a}b^{b}\geq a^{b}b^{a} \] 原不等式得證，當且僅當$a=b$ 時，不等式成立。

反思：若$a\lt b$，則$\frac{a}{b}\lt 1$且$a-b\lt 0$。
函數$y=\left( \frac{a}{b}\right) ^{x}$在$ \mathbb{R} $ 上是遞減函數，同樣有 \[ \left( \frac{a}{b}\right) ^{a-b}\gt \left( \frac{a}{b}\right) ^{0}=1 \]