要擅於因式分解或配方：

因式分解

(1) 已知$a,b$ 都是正數，且$a\neq b$ ，求證：$a^{3}+b^{3}\gt a^{2}b+ab^{2}$；
(2) 已知$a\gt b$，求證：$a^{3}-b^{3} \gt ab\left( a-b\right) $。

證明：
(1) 我們有 \begin{align*} \left( a^{3}+b^{3}\right) -\left( a^{2}b+ab^{2}\right) & =\left( a^{3}-a^{2}b\right) +\left( b^{3}-ab^{2}\right) \\ & =a^{2}\left( a-b\right) +b^{2}\left( b-a\right) \\ & =\left( a^{2}-b^{2}\right) \left( a-b\right) \\ & =\left( a+b\right) \left( a-b\right) ^{2}\gt 0 \end{align*} 故$a^{3}+b^{3}\gt a^{2}b+ab^{2}$。
(2) 我們有 \begin{align*} \left( a^{3}-b^{3}\right) -ab\left( a-b\right) & =\left( a-b\right) \left( a^{2}+ab+b^{2}\right) -ab\left( a-b\right) \\ & =\left( a-b\right) \left( a^{2}+b^{2}\right) \end{align*} 而$a\gt b$，所以$a-b\gt 0$。 又$a,b$不全為$0$，也就是$a^{2} +b^{2}\gt 0$。於是 \begin{align*} \left( a^{3}-b^{3}\right) -ab\left( a-b\right) & \gt 0\\ a^{3}-b^{3} & \gt ab\left( a-b\right) \end{align*} 原不等式得證。

配方

比較下列兩個代數式的大小：$x^{2}+y^{2}+1$與$2\left( x+y-1\right) $。

解答：作差可得 \begin{align*} \left( x^{2}+y^{2}+1\right) -2\left( x+y-1\right) & =x^{2} +y^{2}-2x-2y+3\\ & =\left( x^{2}-2x+1\right) +\left( y^{2}-2y+1\right) +1\\ & =\left( x-1\right) ^{2}+\left( y-1\right) ^{2}+1\gt 1 \end{align*} 故$x^{2}+y^{2}+1\gt 2\left( x+y-1\right) $。