主要有以下兩個公式：

公式一：$|a+b|\leq |a|+|b|$，等號當且僅當$ab\geq 0$時成立。

公式二：$|a|-|b|\leq |a-b|\leq |a|+|b|$

證明題

問題：已知$\varepsilon\gt 0$，$\left\vert x-a\right\vert \lt \varepsilon$，$\left\vert y-b\right\vert \lt \varepsilon$ ，求證：$\left\vert 2x+3y-2a-3b\right\vert \lt \varepsilon$。

證明：我們有 \begin{align*} \left\vert 2x+3y-2a-3b\right\vert & =\left\vert \left( 2x-2a\right) +\left( 3y-3b\right) \right\vert \\ & \leq\left\vert 2x-2a\right\vert +\left\vert 3y-3b\right\vert =\left\vert 2\left( x-a\right) \right\vert +\left\vert 3\left( y-b\right) \right\vert \\ & =2\left\vert x-a\right\vert +3\left\vert y-b\right\vert \\ & \lt 2\varepsilon+3\varepsilon=5\varepsilon \end{align*} 故不等式成立。

解答題

若關於$x$的不等式$\left\vert x-3\right\vert +\left\vert x-4\right\vert \lt a$ 的解集不是空集，求參數$a$ 的取值範圍。

解法一：考察函數$y=\left\vert x-3\right\vert +\left\vert x-4\right\vert $ ，由絕對值三角不等式，可得 \[ \left\vert x-3\right\vert +\left\vert x-4\right\vert \geq\left\vert \left( x-3\right) -\left( x-4\right) \right\vert =1 \] 也就是說函數的值域為$[1,+\infty )$。
要使不等式的解集不是空集，只需滿足$a\gt 1$ 即可。
故$a$的取值範圍為$\left( 1,+\infty\right) $。

解法二：我們有 \[ y=\left\vert x-3\right\vert +\left\vert x-4\right\vert =\left\{ \begin{array} [c]{ll} -2x+7, & x\leq3\\ 1, & 3\lt x\leq4\\ 2x-7, & x\gt 4 \end{array} \right. \] 作出函數的圖像，如下圖所示

要使不等式的解非空，也就是說$y=a$ 要在函數$y=\left\vert x-3\right\vert +\left\vert x-4\right\vert $的上方。
只需滿足$a\gt 1$即可，故$a$ 的取值範圍為$\left( 1,+\infty\right) $。