2018-9-23 晴
有以下四種類型：
類型1：$f(x)\gt a$
$\sqrt{3x-1}>1$
答案：$\left( \frac{2}{3},+\infty\right) $
解答：不等式的定義域為 \begin{align} 3x-1 & \geq0\nonumber\\ x & \geq\frac{1}{3}\tag{1} \end{align} 兩邊平方，可得 \begin{align} 3x-1 & \gt 1\nonumber\\ 3x & \gt 2\nonumber\\ x & \gt \frac{2}{3}\tag{2} \end{align} 結合$\left( 1\right) ,\left( 2\right) $ ，可得$x\gt \frac{2}{3}$ 。故不等式的解集為$\left( \frac{2}{3},+\infty\right) $。
題型2：$\sqrt{f(x)}\gt \sqrt{g(x)}$
$\sqrt{2x-3}\gt \sqrt{x+1}$
答案：$\left( 4,+\infty\right) $
解答：不等式的定義域為 \begin{equation} \left\{ \begin{array} [c]{l} 2x-3\geq0\\ x+1\geq0 \end{array} \right. \Rightarrow\left\{ \begin{array} [c]{l} x\geq\frac{3}{2}\\ x\geq-1 \end{array} \right. \Rightarrow x\geq\frac{3}{2}\tag{1} \end{equation} 兩邊平方，可得 \begin{align} 2x-3 & \gt x+1\nonumber\\ x & \gt 4\tag{2} \end{align} 結合$\left( 1\right) ,\left( 2\right) $ ，可得 \[ x\gt 4 \] 故不等式的解集為$\left( 4,+\infty\right) $。
題型3：$\sqrt{f(x)}\lt g(x)$
$\sqrt{2x+24}\lt x$
答案：$\left( 6,+\infty\right) $
解答：不等式等價於 \begin{align*} \left\{ \begin{array} [c]{l} 2x+24\geq0\\ x\gt 0\\ 2x+24\lt x^{2} \end{array} \right. & \Rightarrow\left\{ \begin{array} [c]{l} x\geq-12\\ x\gt 0\\ x^{2}-2x-24\gt 0 \end{array} \right. \Rightarrow\left\{ \begin{array} [c]{l} x\gt 0\\ \left( x-6\right) \left( x+4\right) \gt 0 \end{array} \right. \\ & \Rightarrow\left\{ \begin{array} [c]{l} x\gt 0\\ x\lt -4\text{或}x\gt 6 \end{array} \right. \Rightarrow x\gt 6 \end{align*} 故不等式的解集為$\left( 6,+\infty\right) $。
題型4：$\sqrt{f(x)}\gt \sqrt{g(x)}$
$\sqrt{2x-1}> x-2$
答案：$[\frac{1}{2},5)$
解答：分兩種情況討論：
(a) 若$x-2\geq0$，不等式等價於
\begin{align*}
\left\{
\begin{array}
[c]{l}
x-2\geq0\\
2x-1\geq0\\
2x-1\gt \left( x-2\right) ^{2}
\end{array}
\right. & \Rightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}
x\geq2\\
x\geq\frac{1}{2}\\
2x-1\gt x^{2}-4x+4
\end{array}
\right. \Rightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}
x\geq2\\
x^{2}-6x+5\lt 0
\end{array}
\right. \\
& \Rightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}
x\geq2\\
\left( x-1\right) \left( x-5\right) \lt 0
\end{array}
\right. \Rightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}
x\geq2\\
1\lt x\lt 5
\end{array}
\right. \\
& \Rightarrow2\leq x\lt 5
\end{align*}
此時，不等式的解為$2\leq
x\lt 5$。
(b) 若$x-2<0$，則$\sqrt{2x-1}\geq0\gt x-2$
。不等式等價於
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}
x-2\lt 0\\
2x-1\geq0
\end{array}
\right. \Rightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}
x\lt 2\\
x\geq\frac{1}{2}
\end{array}
\right. \Rightarrow\frac{1}{2}\leq x\lt 2
\]
此時，不等式的解為$\frac
{1}{2}\leq x<2$。
綜合(a)(b)，可得$\frac{1}{2}\leq x\lt 5$
，故不等式的解集為$[\frac
{1}{2},5)$。