2018-9-16 雨
有以下三種題型：
消log（<1時要反不等號）
$\log_{\frac{1}{2}}\left( x-3\right) \gt \log_{\frac{1}{2}}\left( 4x+6\right)$
答案：$\left( 3,+\infty\right) $
解答：不等式的定義域為 \begin{equation} \left\{ \begin{array} [c]{l} x-3\gt 0\\ 4x+6\gt 0 \end{array} \right. \Rightarrow\left\{ \begin{array} [c]{l} x\gt 3\\ x\gt -\frac{3}{2} \end{array} \right. \Rightarrow x\gt 3 \tag{1} \end{equation} 不等式可化為 \begin{align} x-3 & \lt 4x+6\nonumber\\ -9 & \lt 3x\nonumber\\ x & \gt -3 \tag{2} \end{align} 結合$\left( 1\right) ,\left( 2\right) $ ，可得 \[ x\gt 3 \] 故不等式的解集為$\left( 3,+\infty\right) $。
換元法
$\left( \log_{3}x\right) ^{2}+2\log_{3}x\gt 3$
答案：$\left( 0,\frac{1}{27}\right) \cup\left( 3,+\infty\right) $
解答：不等式的定義域為$x> 0$。 設$t=\log_{3}x$，不等式可化為 \begin{align} t^{2}+2t & \gt 3\nonumber\\ t^{2}+2t-3 & \gt 0\nonumber\\ \left( t+3\right) \left( t-1\right) & \gt 0\nonumber\\ t & <-3\text{或}t>1\nonumber \end{align} 代入$t=\log_{3}x$，可得 \begin{align} \log_{3}x & \lt -3\text{或}\log_{3}x\gt 1\nonumber\\ \log_{3}x & \lt \log_{3}3^{-3}\text{或}\log_{3}x\gt \log_{3}3\nonumber\\ x & \lt 3^{-3}\text{或}x\gt 3\nonumber\\ x & \lt \frac{1}{27}\text{或}x\gt 3\nonumber \end{align} 結合定義域，可得 \[ 0\lt x\lt \frac{1}{27}\text{或}x\gt 3 \] 故不等式的解集為$\left( 0,\frac{1}{27}\right) \cup\left( 3,+\infty\right) $。
倒數換元
$\log_{2}x-3\log_{x}2\gt 2$
答案：$\left( 0,\frac{1}{2}\right) \cup\left( 8,+\infty\right) $
解答：不等式的定義域為 \begin{equation} \left\{ \begin{array} [c]{l} x>0\\ x\neq1 \end{array} \right. \Rightarrow x\gt 0\text{且}x\neq1\tag{1} \end{equation} 不等式可化為 \[ \log_{2}x-3\frac{1}{\log_{2}x}\gt 2 \] 設$t=\log_{2}x$，則 \begin{align*} t-\frac{3}{t} & \gt 2\\ t-\frac{3}{t}-2 & \gt 0\\ \frac{t^{2}-3-2t}{t} & \gt 0\\ \frac{\left( t-3\right) \left( t+1\right) }{t} & \gt 0\\ t\left( t-3\right) \left( t+1\right) & \gt 0 \end{align*} 由穿根法，可得圖像
